Ideal points and the line at infinity
어떤 point (x_1, x_2, x_3) 의 제일 마지막 좌표 x_3 가 0이 될 경우에, 우리는 이 point를 ideal point 또는 point at infinity라고 합니다. 그 이유는 위에 point를 homogeneous vector라고 했을 때, inhomogenous notation으로 바꾸면 (x_1/x_3, x_2/x_3) 이 되고 이 때 x_3 = 0이므로 무한대로 가기 때문입니다.
모든 ideal point는 (x_1, x_2, 0)^T 로 쓰입니다. 그리고 이러한 ideal point가 존재하는 하나의 선을 line at infinity ( l_{∞} (0, 0, 1)^T ) 라고 합니다.
만약 어떤 직선 l = (a, b, c)^T 이 있다면 이 직선 l 은 “두 직선의 교점은 두 직선의 외적과 같다”는 공식을 통해 l_∞ 와의 교점 (b, -a, 0)^T 를 구할 수 있고 이때의 교점을 ideal point라고 합니다. 그리고 직선 l과 평행한 직선인 l' 역시도 l_∞ 와의 교점에서 동일한 ideal point (b, -a, 0)^T를 구하게 됩니다. 즉 제일 마지막 좌표는 ideal point를 구하는데에 있어서 아무런 영향을 주지 못하기에, 이러한 ideal point를 직선의 방향을 나타낸다고 볼 수 있습니다. 즉 직선의 방향이 달라짐에 따라 l_∞ 에 따른 ideal point역시 달라진다고 볼 수 있습니다.
Duality
이전에 설명한 것 처럼, 2D projective plane에서, 서로 다른 두 직선은 하나의 교점을 만나고, 서로 다른 두 point는 하나의 직선 위에 존재한다고 했습니다. 즉 서로 다른 두 직선이 하나의 교점을 만나는 것과, 두 점이 하나의 직선으로 이어진다는 결과들은 직선과 점의 role을 서로 바꿔도 결과가 같아지는 것을 볼 수 있는데, 이러한 일반적인 원칙을 duality principle이라고 합니다.
즉 두 점을 통과하는 직선과 하나의 point(두 직선의 교점)을 통과하는 두 직선은 서로 Dual을 이룬다는 뜻입니다.
Conics and dual conics
Conic이란 평면에서 2차 방정식으로 표현 가능한 곡선을 뜻합니다. 유클리디안 기하학에서 conic은 degenerate conic과 non-degenerate conic으로 나뉘어지고, 또 non-degenerate conic안에서 3가지 종류로 나뉘어지는데 바로
- Hyperbola
- ellipse
- parabola
입니다. 이러한 종류들의 Conic은 다른 방향의 평면을 가지고 원뿔을 자른 단면을 2차 곡선으로 나타납니다.(degenerate conic은 하나의 직선, 두개의 직선, 원으로 구분되는데 여기서는 다루지 않습니다.)
2D projective geometry에서 모든 non-degenerate conic들은 모두 동일한 투영geometry에서 모든 non-degenerate conic들은 모두 동일한 투영변환(projective transformation)을 가집니다.
먼저 inhomogeneous 좌표계에서 conic의 방정식은 다음과 같습니다.
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
이제 위에 식을 homogeneous 방식으로 표현하게 되면, x = x_1/x_3, y = x_2/x_3 로 나타낼 수 있습니다.
a{x_{1}}^2 + bx_{1} x_{2} + c{x_{2}}^2 + dx_{1} x_{3} + ex_{2} x_{3} + f{x_{3}} ^2 = 0
또는 matrix 형식인 X^TCx = 0 꼴로 나타낼수도 있습니다 이때 conic coefficient matrix C는 다음과 같습니다.
\begin{bmatrix} a&b/2&d/2 \\ b/2&c&e/2 \\ d/2&e/2&f \end{bmatrix}
여기서 coefficient matrix는 대칭 행렬임을 알 수 있습니다. 점과 직선의 homogeneous 표기법에서는 오직 행렬 원소 값의 비율만이 중요한데, conic 방정식에서도 이처럼 어떤 0이 아닌 스칼라를 행렬 C에 곱한다고 해서 영향을 주지는 못합니다. 그러므로 C를 Conic의 homogeneous 표현법으로 나타낼 수 있습니다. 그리고 conic 행렬을 보시면 총 6개의 ratio {a : b : c : d : e : f}를 가지고 있어서 6의 자유도를 가진다라고 생각하실 수도 있겠지만, 아까 설명했다시피 homogeneous 표현법으로 나타난 것이기에, scale에 대해서 본 행렬 즉 {a/f :b/f : c/f : d/f : e/f} 로 나타낼 수 있어서 conic의 자유도는 5입니다.
